Variedad compleja

En geometría diferencial, una variedad compleja M es una variedad topológica que tiene la estructura que nos permite definir la noción de función holomorfa ${\displaystyle f:M\to \mathbb {C} }$.^[1]​

Ello se podrá conseguir por dos caminos:

1. Exigiendo que exista un atlas (o conjunto de cartas) que recubra la variedad de modo que las funciones de transición (o cambios de cartas) sean holomorfas.
2. O, de un modo menos directo, exigiendo la existencia sobre la variedad diferenciable subyacente de una estructura casi compleja J (endomorfismo que verifica ${\displaystyle J^{2}=-Id}$) y una condición de integrabilidad.

Toda variedad compleja de dimensión compleja n será, en particular, también una variedad diferenciable de dimensión real 2n, orientable,^[2]​ y dotada de una orientación natural.^[3]​

Puesto que las funciones holomorfas son mucho más rígidas que las funciones diferenciables, la teoría de variedades complejas presenta importantes diferencias con la de variedades diferenciables.

1. ↑ Del mismo modo que una variedad diferenciable tiene la estructura necesaria para definir el concepto de función diferenciable.
2. ↑ El recíproco no es cierto pues S⁴ no admite ninguna estructura compleja a pesar de ser de dimensión par y orientable.
3. ↑ Hereda la orientación natural de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, ya que los biholomorfismos preservan siempre la orientación.